Der grosse Schritt vorwärts

2.4 Erfolge und Misserfolge der Quantenfeldtheorie

Der Wechselwirkungsterm eines Nukleons mit einem pi-Meson ist:

$$L_{\rm Wechselwirkung} = g_{\pi N} \psi^*(\vec x,t) \gamma_0 \gamma ^5 \psi(\vec x,t) \phi(\vec x,t)$$ (2.1)

wobei $g_{\pi N}$ die pi-Meson-Nukleon Kopplung ist und $\phi$ das Quantenfeld des pi-Mesons, für die Matrix $\gamma ^5$ s. (2.2). Für die Kopplung gilt $g_{\pi N}^2/(4 \pi)\approx 14$, verglichen mit $e^2/(4 \pi)\approx 1/137$ in der QED. Die sogenannte $\gamma ^5$ Matrix ist gegeben als Produkt der in (1.13) eingefürten gamma-Matrizen:

$$\gamma ^5=i\gamma ^0\gamma ^1\gamma ^2\gamma ^3$$ (2.2)

2.7 Immer mehr neue Teilchen

In Abb. 2.12 ist auf der $x$-Achse die ,,invariante Masse'' $m_{\pi^+\pi^-}$ der beiden erzeugten $\pi$-Mesonen aufgetragen.

$$m_{\pi^+\pi^-}^2 c^2 = (p'_{\pi^+}+p'_{\pi^-})^2$$ (2.3)

s. (1.10)

2.8 Die Überraschungen der schwachen Wechselwirkung

2.8.1 Einschub: Rechts- und Linkshändige Teilchen

Der Zusammenhang zwischen Weyl- und Dirac-Spinoren ist gegeben durch die $\gamma_5$-Matrix (2.2):

$$\chi_{\rm rechts} = \frac{1+\gamma^5}{2} \psi_{\rm Dirac},~~~ \chi_{\rm links} = \frac{1-\gamma^5}{2} \psi_{\rm Dirac}$$ (2.4)

wobei $\chi$ rechts bzw. linkshändige Weyl-Spinoren und $\psi$ ein Dirac-Spinor ist.

2.8.2 Zurück zur schwachen Wechselwirkung

An der schwachen Wechselwirkung nehmen nur die linkshändigen Teilchen teil, also $(1-\gamma ^5)\psi$. Konkret heisst dies für den Wechselwirkungsterm beim mü-Zerfall $(\mu \to e + \nu_e + \nu_\mu)$:

$${\cal L}_{\rm Wechselwirkung}= G_F \sum_{\rho=0}^3 \bigg(\ps... ... {\nu_\mu}\gamma ^0 (1-\gamma ^5) \gamma _\rho \psi_\mu \bigg)$$ (2.5)

wobei die Indizes an den Feldern $\psi$ angeben, um welche Teilchenfelder es sich handelt; $G_F$ ist die schwache Fermi-Kopplungskonstante.

Der Ausdruck $\psi_e^* \gamma ^0 (1-\gamma ^5) \gamma ^\rho \psi_{\nu_e}$ ist ein ,, geladener schwacher $V-A$ Strom''.

Geladen, weil er die Ladung ändert (vom Neutrino zum Elektron), schwach weil er in der schwachen Wechselwirkung auftritt und $V-A$ weil sich der Teil $\psi_e^* \gamma ^0 \gamma ^\rho \psi_{\nu_e}$ wie ein normaler Vektor und der Teil $\psi_e^* \gamma ^0 \gamma ^5 \gamma ^\rho \psi_{\nu_e}$ wie ein axialer Vektor verhält.

2.8.2 Zurück zur schwachen Wechselwirkung

Bei $CP$-Verletzung setzen wir an:

$$K_S= p K^0 + q \bar K^0,~~~K_L= p K^0 - q \bar K^0$$ (2.6)

wobei $\frac{p}{q} -1$ ein Mass für die $CP$-Verletzung ist. Der experimentelle Wert dafür ist sehr klein, etwa 0.001. $CP$ ist also nur sehr schwach verletzt.